Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- \frac{4 y^{2}}{x^{3}})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4}{x^{3}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2.3.3.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{- 3} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Этап 2.3.5.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, x^{2}, 1$

Этап 3.1.2

Так как $y, x^{2}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, x^{2}$ .

Этап 3.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.1.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 3.1.8

НОК $y^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot x \cdot x$

Этап 3.1.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Перенесем $x$ .

$y \cdot (x \cdot x)$

Этап 3.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y \cdot x^{2}$

$y x^{2}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ умножим на $y x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ на $y x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2}$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x^{2})) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2}$ .

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} = 2 y + K (y x^{2})$

$- x^{2} = 2 y + K y x^{2}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y + K y x^{2} = - x^{2}$ .

$2 y + K y x^{2} = - x^{2}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y + K y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \cdot 2 + K y x^{2} = - x^{2}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y x^{2}$ .

$y \cdot 2 + y (K x^{2}) = - x^{2}$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (K x^{2})$ .

$y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ на $2 + K x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ на $2 + K x^{2}$ .

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 + K x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2 + K x^{2}}$