Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Перенесем $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

Этап 6.1.1.1.1.2

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

Этап 6.1.1.1.2

Умножим $V^{2}$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Перенесем $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.2

Умножим $V$ на $V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.2.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

Этап 6.1.1.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

Этап 6.1.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\frac{V^{3}}{2}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Умножим $V^{3}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $V^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем $V^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.2

По правилу степени интеграл $V^{- 3}$ по $V$ имеет вид $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{V^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 6.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 V^{2}, 1, 1$

Этап 6.3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 V^{2}$

Этап 6.3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ умножим на $2 V^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ на $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 V^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.2

Упростим $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.3

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.4

Упростим.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Этап 6.3.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Этап 6.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ .

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Этап 6.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ .

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Этап 6.3.4.2

Вынесем множитель $V^{2}$ из $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1

Вынесем множитель $V^{2}$ из $2 C V^{2}$ .

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Этап 6.3.4.2.2

Вынесем множитель $V^{2}$ из $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ .

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Этап 6.3.4.3

Разделим каждый член $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ на $\ln (| x |) + 2 C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1

Разделим каждый член $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ на $\ln (| x |) + 2 C$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Этап 6.3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| x |) + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Этап 6.3.4.3.2.1.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Этап 6.3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Этап 6.3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Этап 6.3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Этап 6.3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Этап 6.3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}, - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Этап 9.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x, y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$