Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Этап 3.3

Развернем $\ln (x^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Этап 3.4

Упростим $4 \ln (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$