Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = x^{2} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{x^{2} + K}$