Математический анализ Примеры

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} y + 2 y + 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2} y$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $2 x^{2} + 2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x^{2} + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 x^{2} + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x^{2} + 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $6 x^{2} + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 x^{3} + 2 x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x^{3} + 2 x$ вместо $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $6 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.2.6

Добавим $- 4 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 4.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Этап 5.4

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 5.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 5.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 5.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Этап 5.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Этап 5.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 5.9

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 5.10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Этап 5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Упростим $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Этап 5.11.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Этап 5.11.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x^{2} y + 2 y + 5$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x^{2} y + 2 y + 5$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $2 x^{3} + 2 x$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $2 x^{3} + 2 x$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Этап 6.6.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 2 x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $2 x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x^{2} y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2.2.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2.2.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.2.2.2.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Этап 12.1.3.2

Добавим $0$ и $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{5}{x^{2} + 1}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 13.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 13.4

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 13.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 13.6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Этап 13.7

Упростим.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$