Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$y' - y = 1$

Этап 2

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Этап 2.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{x}$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Этап 4.2

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1 = 1$

Этап 5

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = e^{x} - 1$ является решением уравнения $y' - y = 1$