Математический анализ Примеры

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} + x y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{3}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Этап 1.3.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.2.2

Поскольку $5 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Этап 2.4

Поскольку $y^{3} \sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3} \sin (y)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $y$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 y^{2} x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $3 y^{2} x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y^{2} + x y^{3}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y^{2} + x y^{3}$ вместо $M$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 y$ из $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $3 y$ из $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $3 y$ из $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $3 y$ из $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $3 y$ из $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + x y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Этап 4.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $- x y - 1$ и $x y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6.4

Перепишем $- (x y + 1)$ в виде $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6.5

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Этап 4.3.6.6

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Этап 4.3.8

Подставим $y^{2} + x y^{3}$ вместо $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{2} + x y^{3}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y^{2} + x y^{3}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + x y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.4

Объединим $\frac{1}{y^{2}}$ и $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.5

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Этап 6.7.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Этап 8.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Этап 8.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Этап 8.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Этап 8.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.7

Упростим.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.4

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.6.2.2

Добавим $- \frac{x}{y^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{5}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Этап 12.1.1.2

Добавим $\frac{x}{y^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Этап 12.1.1.3

Вычтем $\sin (y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- \frac{x}{y^{2}}$ и $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Этап 12.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Добавим $\frac{5}{y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Этап 12.1.2.2

Добавим $\sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{5}{y} + \sin (y)$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Этап 13.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Этап 13.5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Этап 13.6

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Этап 13.7

Упростим.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Этап 15.2

Упростим $5 \ln (| y |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$