Математический анализ Примеры

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + y e^{x y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Этап 1.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

Этап 1.3.7

Умножим $e^{x y}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $0$ и $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 y + x e^{x y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.2

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

Этап 2.3.7

Умножим $e^{x y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x y e^{x y} + e^{x y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $x y e^{x y} + e^{x y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

Этап 5.3

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

Этап 5.4

Пусть $u = x y$ . Тогда $d u = y d x$ , следовательно $\frac{1}{y} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть $u = x y$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Дифференцируем $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Этап 5.4.1.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Этап 5.4.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$y$

Этап 5.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Этап 5.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Этап 5.6

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y$ .

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Этап 5.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

Этап 5.7.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

Этап 5.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

Этап 5.9

Упростим.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

Этап 5.10

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $x + e^{x y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3.1.2

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $e^{x y} x$ .

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

Этап 8.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x e^{x y}$ из $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Этап 10

Найдем первообразную $2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Этап 10.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int y d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Этап 10.5.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$