Математический анализ Примеры

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $x^{2} a^{2}$ в виде ${(x a)}^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

Этап 3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

Этап 3.2.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

Этап 3.2.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

Этап 3.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

Этап 3.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $a$ из $x^{2} a$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $a$ .

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $a (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Объединим $a$ и $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{a}{x} + K$