Математический анализ Примеры

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x y$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- x + 2 y = 2 x - y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - x y$ вместо $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $2 y$ и $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Этап 4.3.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Этап 4.3.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x + y$ и $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x - y)$ в виде $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{2} - x y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y^{2} - x y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - x y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x^{2} - x y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 6.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 6.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{x^{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Этап 8.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Этап 8.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.2.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ и $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $x y - \frac{y^{2}}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.5

Поскольку $- \frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y^{2}}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.6

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.9

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.10

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.11

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.12

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.16

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.17

Чтобы записать $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.19

Умножим $x^{- 3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.19.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.3.19.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.4

Объединим $y$ и $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.7.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.9

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.12

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.13

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.14

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.16

Вычтем $2 y$ из $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.17

Умножим $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.18

Объединим.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.20

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.20.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.20.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.21

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.21.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.21.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.21.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.21.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.22

Чтобы записать $\frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Этап 12.1.2

Упростим $y (y - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Перепишем.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Этап 12.1.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Этап 12.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Этап 12.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.4.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Этап 12.1.2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Этап 12.1.3

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Этап 12.1.3.2

Добавим $x y$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Этап 12.1.3.3

Объединим противоположные члены в $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Этап 12.1.3.3.2

Добавим $- y x$ и $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Этап 12.1.3.3.3

Изменим порядок множителей в членах $- y x$ и $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Этап 12.1.3.3.4

Добавим $- x y$ и $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Этап 12.1.4

Разделим каждый член $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Разделим каждый член $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Этап 12.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Этап 12.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Этап 12.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.3.1

Разделим $0$ на $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Этап 15.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.2

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Этап 15.3.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Этап 15.4

Объединим $y$ и $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Этап 15.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 15.6

Объединим.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 15.7

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$