Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Этап 2.2.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ в виде $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Этап 3.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Этап 3.2.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Этап 3.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Этап 3.3.3

Перенесем $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Этап 3.3.4

Изменим порядок $3 y^{2}$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = 2$ и $c = - 4 x^{2} - 2 K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 + 48 x^{2} + 24 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $24 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.7

Перепишем $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ в виде $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.7.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$