Математический анализ Примеры

$y^{2} d x + e^{3 x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$e^{3 x} d y = - y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{3 x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} y^{2}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $e^{3 x} y^{2}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} (y^{2})} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{3 x} y^{2}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{3 x} y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{3 x} y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{3 x} y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $e^{3 x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{3 x}} y^{2} d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{3 x}} y^{2} d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{3 x}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{3 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int 1 e^{- 3 x} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $e^{- 3 x}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{- 3 x} d x$

Этап 4.3.3

Пусть $u = - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Пусть $u = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 4.3.3.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 4.3.4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4.3.6.2

Умножим $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 3, 1$

Этап 5.2.2

Так как $y, 3, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 5.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.7

НОК $1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 5.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 5.2.10

НОК $y, 3, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y$

Этап 5.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$ на $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 = \frac{e^{- 3 x}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 3 \frac{e^{- 3 x}}{3} y + K (3 y)$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 3 = 3 \frac{e^{- 3 x}}{3} y + K (3 y)$

Этап 5.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 3 = e^{- 3 x} y + K (3 y)$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = e^{- 3 x} y + 3 K y$

Этап 5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{- 3 x} y + 3 K y$ .

$- 3 = y e^{- 3 x} + 3 K y$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $y e^{- 3 x} + 3 K y = - 3$ .

$y e^{- 3 x} + 3 K y = - 3$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 3 x} + 3 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 3 x}$ .

$y (e^{- 3 x}) + 3 K y = - 3$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $3 K y$ .

$y (e^{- 3 x}) + y (3 K) = - 3$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (e^{- 3 x}) + y (3 K)$ .

$y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$ на $e^{- 3 x} + 3 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $y (e^{- 3 x} + 3 K) = - 3$ на $e^{- 3 x} + 3 K$ .

$\frac{y (e^{- 3 x} + 3 K)}{e^{- 3 x} + 3 K} = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 3 x} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- 3 x} + 3 K)}{e^{- 3 x} + 3 K} = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{e^{- 3 x} + 3 K}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{3}{e^{- 3 x} + K}$