Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.3.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Этап 1.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 1.3.3.6.5

Упростим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{u}}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.4.3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.4.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$