Математический анализ Примеры

$yd y + 3 x^{2} yd x = 0$

Этап 1

Вычтем $3 x^{2} y d x$ из обеих частей уравнения.

$y d y = - 3 x^{2} y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} y d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 d y = - 3 \frac{1}{y} (x^{2} y) d x$

Этап 3.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{y}$ .

$1 d y = \frac{- 3}{y} (x^{2} y) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$1 d y = \frac{- 3}{y} (y x^{2}) d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$1 d y = \frac{- 3}{y} (y x^{2}) d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$1 d y = - 3 x^{2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 3 x^{2} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 3 x^{2} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 3 \int x^{2} d x$

Этап 4.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = - x^{3} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x^{3} + K$