Математический анализ Примеры

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ на ${(1 + x)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ на ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель ${(1 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель ${(1 + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.4

Перепишем $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1 + y, 1 + x, 1$

Этап 3.1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.1.5

Множителем $1 + y$ является само значение $1 + y$ .

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.1.6

Множителем $1 + x$ является само значение $1 + x$ .

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.1.7

НОК $1 + y, 1 + x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(1 + y) (1 + x)$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ умножим на $(1 + y) (1 + x)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ на $(1 + y) (1 + x)$ .

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1 + y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1 + x}$ в числитель.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + y) (1 + x)$ .

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.4

Развернем $(1 + y) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

Этап 3.2.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Этап 3.2.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Этап 3.2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

Этап 3.2.3.1.5.3

Умножим $y$ на $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

Этап 3.2.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

Этап 3.2.3.1.7

Умножим $K$ на $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ .

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $K x$ из обеих частей уравнения.

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

Этап 3.3.2.4

Объединим противоположные члены в $- 1 - x + 1 - K - K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

Этап 3.3.2.4.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y + K y + K y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

Этап 3.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y K$ .

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ .

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ на $- 1 + K + K x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ на $- 1 + K + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- 1 + K + K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - K$ .

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- K x$ .

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + K) - (K x)$ .

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.7

Перепишем $- (x + K + K x)$ в виде $- 1 (x + K + K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

Этап 3.3.4.3.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $K x$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

Этап 3.3.4.3.2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 - K) - (- K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Этап 3.3.4.3.2.13

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Этап 3.3.4.3.2.14

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$