Математический анализ Примеры

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.5

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Этап 4.3

Подставим $y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y + 0}{y}$

Этап 4.3.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{2 y}{y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{y}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int 2 d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2} + y^{2} + x$ на $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $y$ на $e^{2 x}$ .

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = y e^{2 x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $e^{2 x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $e^{2 x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.3

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.8

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.9

Объединим $2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.10

Объединим $\frac{2 y^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.3.11.2

Разделим $y^{2} e^{2 x}$ на $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $y^{2} e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $y^{2} e^{2 x}$ из $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.6

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.7.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.7.3

Умножим $\int e^{2 x} (x) d x$ на $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.9.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.11

Избавимся от скобок.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.12

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 13.12.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.12.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.13

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.15.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.15.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.16

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

Этап 13.17

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 13.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 13.18.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 13.19

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Этап 13.20

Избавимся от скобок.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Этап 13.21

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.21.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.21.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 13.21.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.21.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.21.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.21.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 13.22

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 13.23

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 13.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.24.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.24.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13.25

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 13.26

Упростим.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 13.27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.27.1

Добавим $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ и $\frac{x e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 13.27.2

Добавим $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ и $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 13.27.3

Чтобы записать $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Этап 13.27.4

Объединим $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ и $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Этап 13.27.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Этап 13.27.6

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

Этап 13.27.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Этап 13.27.8

Объединим $- 4$ и $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Этап 13.27.9

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.27.9.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

Этап 13.27.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.27.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

Этап 13.27.9.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

Этап 13.27.9.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

Этап 13.27.9.2.4

Разделим $- e^{u_{2}}$ на $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

Этап 13.27.10

Вычтем $e^{u_{2}}$ из $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

Этап 13.27.11

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.27.11.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

Этап 13.27.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.27.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Этап 13.27.11.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Этап 13.27.11.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

Этап 13.27.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

Этап 13.27.12

Добавим $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ и $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Этап 13.28

Изменим порядок членов.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.4

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$