Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (x^{2} y^{4})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $x^{2} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} x^{2})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} x^{2})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{4}} d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y^{3}, 3, 1$

Этап 3.2.2

Так как $3 y^{3}, 3, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{3}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 3.2.7

Множители $y^{3}$ — $y \cdot y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$y^{3} = y \cdot y \cdot y$

$y$ встречается $3$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $y^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y \cdot y$

Этап 3.2.9

Упростим $y \cdot y \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} \cdot y$

Этап 3.2.9.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{2} \cdot y^{1}$

Этап 3.2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2 + 1}$

Этап 3.2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{3}$

Этап 3.2.10

НОК $3 y^{3}, 3, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y^{3}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ умножим на $3 y^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{x^{3}}{3} + K$ на $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 y^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \frac{x^{3}}{3} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 3 \frac{x^{3}}{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = 3 \frac{x^{3}}{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{3} y^{3} + K (3 y^{3})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = x^{3} y^{3} + 3 K y^{3}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$x^{3} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{3} y^{3} + 3 K y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{3} y^{3}$ .

$y^{3} x^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $3 K y^{3}$ .

$y^{3} x^{3} + y^{3} (3 K) = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} x^{3} + y^{3} (3 K)$ .

$y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$ на $x^{3} + 3 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y^{3} (x^{3} + 3 K) = - 1$ на $x^{3} + 3 K$ .

$\frac{y^{3} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{3} + 3 K}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перепишем $- \frac{1}{x^{3} + 3 K}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3} + 3 K}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$

Этап 3.4.5.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}})$

Этап 3.4.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$

Этап 3.4.5.7.2

Возведем $\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$ в степень $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}$

Этап 3.4.5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.5.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{3}}$

Этап 3.4.5.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{3}$ в виде $x^{3} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$ в виде ${(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{({(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.5.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.5.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{{(x^{3} + 3 K)}^{1}}$

Этап 3.4.5.7.5.5

Упростим.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}}{x^{3} + 3 K}$

Этап 3.4.5.8

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x^{3} + 3 K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{3} + 3 K)}^{2}}}{x^{3} + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{3} + K)}^{2}}}{x^{3} + K}$