Математический анализ Примеры

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y^{2} + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{2}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 y^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3} - x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 y^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 x y + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y + 1 = - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 x y + 1 = - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $4 x y + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x y^{2} + y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x y^{2} + y$ вместо $M$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - (4 x y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок $- 1$ и $- (4 x y + 1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x y$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{2 x y^{2} + y}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y}$

Этап 4.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y^{1}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot 1}$

Этап 4.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2 x y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $2 x y^{2} + y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y^{2} + y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x y^{2} + y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y (2 x y) + y^{1}}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot 1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $2 y^{3} - x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $2 y^{3} - x$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x y + 1}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{2 x y + 1}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} + \frac{1}{y} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Этап 8.3.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Этап 8.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d x$

Этап 8.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Этап 8.7.2

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{x}{y} + C$

Этап 8.8

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.2.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$0 - \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.5.2.2

Вычтем $\frac{x}{y^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3} - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3}) - - x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} - - x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + 1 x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- x - 2 y^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 2 y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.4

Разделим $- 2 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 y = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Этап 13

Найдем первообразную $2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int y d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Этап 13.5.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + y^{2} + C$