Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x - y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{4 x - y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{4 x - y}$ для всех.

$\frac{d y}{d x} = v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{4 x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x - y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x - y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} \frac{d}{d x} [4 x - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $4 x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (4 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (4 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x - y} (4 - y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{4 x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (4 - y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 4 = v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v - 4$

Этап 5.1.2

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot v + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot v$ в виде $- v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - v + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.2.3.1.3

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - v + 4$

Этап 5.1.3

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- v + 4) v$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- v + 4) v$

Этап 5.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = (- v + 4) v$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Упростим $(- v + 4) v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} = - v \cdot v + 4 v$

Этап 5.1.4.2.1.2

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.2.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - (v \cdot v) + 4 v$

Этап 5.1.4.2.1.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v^{2} + 4 v$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{- v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v^{2} + 4 v} (- v^{2} + 4 v)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2} + 4 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2}$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v) + 4 v} (- v^{2} + 4 v)$

Этап 5.3.1.2

Вынесем множитель $v$ из $4 v$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v) + v \cdot 4} (- v^{2} + 4 v)$

Этап 5.3.1.3

Вынесем множитель $v$ из $v (- v) + v \cdot 4$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 4)} (- v^{2} + 4 v)$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{1}{v (- v + 4)}$ на $- v^{2} + 4 v$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- v^{2} + 4 v}{v (- v + 4)}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2} + 4 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2}$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v) + 4 v}{v (- v + 4)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $v$ из $4 v$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v) + v \cdot 4}{v (- v + 4)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $v$ из $v (- v) + v \cdot 4$ .

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v + 4)}{v (- v + 4)}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v + 4)}{v (- v + 4)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 4}{- v + 4}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $- v + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 4}{- v + 4}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- v^{2} + 4 v} d v = 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- v^{2} + 4 v} d v = \int d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2} + 4 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $- v^{2}$ .

$\frac{1}{v (- v) + 4 v}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $v$ из $4 v$ .

$\frac{1}{v (- v) + v \cdot 4}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $v$ из $v (- v) + v \cdot 4$ .

$\frac{1}{v (- v + 4)}$

Этап 6.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (- v + 4)$ .

$\frac{1 (v (- v + 4))}{v (- v + 4)} = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (- v + 4))}{v (- v + 4)} = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (- v + 4)}{- v + 4} = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.5

Сократим общий множитель $- v + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (- v + 4)}{- v + 4} = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (v (- v + 4))}{v} + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (- v + 4)$ на $1$ .

$1 = A (- v + 4) + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (- v) + A \cdot 4 + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = - A v + A \cdot 4 + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6.4

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$1 = - A v + 4 A + \frac{B (v (- v + 4))}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.1.6.5

Разделим $B v$ на $1$ .

$1 = - A v + 4 A + B v$

Этап 6.2.1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = - v A + 4 A + B v$

Этап 6.2.1.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $v$ .

$1 = - v A + 4 A + B v$

Этап 6.2.1.1.7.3

Перенесем $4 A$ .

$1 = - v A + B v + 4 A$

Этап 6.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 6.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 4 A$

Этап 6.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Этап 6.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 6.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{4}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{4})$ в виде $- (\frac{1}{4})$ .

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.3.3.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Этап 6.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 4}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{\frac{1}{4}}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{\frac{1}{4}}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{\frac{1}{4}}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4 v} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- v + 4}$

Этап 6.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{- v + 4}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{1}{4 (- v + 4)}$

Этап 6.2.1.5.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{1}{4 (- v - 1 \cdot - 4)}$

Этап 6.2.1.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- v - 1 (- 4)$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{1}{4 (- (v - 4))}$

Этап 6.2.1.5.7

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.7.1

Перепишем $- (v - 4)$ в виде $- 1 (v - 4)$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{1}{4 (- 1 (v - 4))}$

Этап 6.2.1.5.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{1}{4 (v - 4)} d v = \int d x$

Этап 6.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{1}{4 (v - 4)} d v = \int d x$

Этап 6.2.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{4 (v - 4)} d v = \int d x$

Этап 6.2.4

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (v - 4)} d v = \int d x$

Этап 6.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (v - 4)} d v = \int d x$

Этап 6.2.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{v - 4} d v) = \int d x$

Этап 6.2.7

Пусть $u_{2} = v - 4$ . Тогда $d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Пусть $u_{2} = v - 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1.1

Дифференцируем $v - 4$ .

$\frac{d}{d v} [v - 4]$

Этап 6.2.7.1.2

По правилу суммы производная $v - 4$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 4]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

Этап 6.2.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 4]$

Этап 6.2.7.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $v$ , производная $- 4$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 6.2.9

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Этап 7.1.1.2

Объединим $\ln (| u_{2} |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$

Этап 7.2

Каждый член в $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ на $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ в числитель.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot x + C \cdot 4$

Этап 7.2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 x + 4 C$

Этап 7.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$

Этап 7.4

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 x + 4 C}$

Этап 7.5

Перепишем $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 x + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Этап 7.6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$

Этап 7.6.2

Умножим обе части на $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Сократим общий множитель $| u_{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| v | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Этап 7.6.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Этап 7.6.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Этап 8

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + C}$

Этап 8.2

Перепишем $e^{4 x + C}$ в виде $e^{4 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 x} e^{C})$

Этап 8.3

Изменим порядок $e^{4 x}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 x})$

Этап 8.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C | u_{2} | e^{4 x}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{4 x - y}$ .

$e^{4 x - y} = C | u_{2} | e^{4 x}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{4 x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{4 x - y})$ , вынося $4 x - y$ из логарифма.

$(4 x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(4 x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Этап 10.2.3

Умножим $4 x - y$ на $1$ .

$4 x - y = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Этап 10.3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $\ln (C | u_{2} | e^{4 x})$ в виде $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$ .

$4 x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Этап 10.3.2

Перепишем $\ln (C | u_{2} |)$ в виде $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$4 x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Этап 10.3.3

Развернем $\ln (e^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$4 x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \ln (e)$

Этап 10.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$4 x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \cdot 1$

Этап 10.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x$

Этап 10.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 x - y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x$

Этап 10.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$

Этап 10.5.2

Объединим противоположные члены в $\ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Этап 10.5.2.2

Добавим $\ln (C | u_{2} |)$ и $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Этап 10.6

Разделим каждый член $- y = \ln (C | u_{2} |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Разделим каждый член $- y = \ln (C | u_{2} |)$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Этап 10.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Этап 10.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ в виде $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$