Математический анализ Примеры

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ на $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.3.2.5

Разделим $3 y$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $x$ из $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Этап 1.5

Изменим порядок $x$ и $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (y) d y}$ , где $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 2}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{y^{2}}$ и $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2}{y}$ и $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{2 x}{y}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Этап 3.3.4

Объединим.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Этап 3.3.5

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Этап 3.3.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 7.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 7.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Этап 7.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Этап 7.6.2

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Этап 7.6.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Этап 7.6.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Этап 7.7

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Объединим $y^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Этап 7.8.1.2

Перенесем $y^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Этап 7.8.2

Упростим.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Этап 7.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 7.8.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 7.8.3.3

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $3 \ln (| y |)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 8.1.2

Вычтем $\frac{1}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Этап 8.1.3

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Этап 8.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Объединим $\frac{1}{y^{2}}$ и $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Этап 8.1.4.2

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $\ln ({| y |}^{3})$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Этап 8.2.2

Добавим $\frac{1}{y^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 8.2.3

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.2

Перенесем $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Этап 8.4.2.1.3.3

Изменим порядок $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ и $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$