Математический анализ Примеры

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x} y$ по $y$ равна $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Этап 1.3.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $x e^{x} y$ по $y$ равна $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x e^{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $x e^{x} + e^{x}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x e^{x} + e^{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $x e^{x} + e^{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{x} + 2$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(x e^{x} + 2) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $x e^{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.4

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.7

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.3.8

Добавим $x e^{x} + e^{x}$ и $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 8.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Изменим порядок множителей в $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Этап 9.1.2.3

Объединим противоположные члены в $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вычтем $x y e^{x}$ из $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Этап 9.1.2.3.2

Добавим $1 + y e^{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Этап 9.1.2.3.3

Вычтем $y e^{x}$ из $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Этап 9.1.2.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Этап 10

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Этап 12.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$