Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ на $\cos^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ на $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.4

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Этап 1.1.3.1.6

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.7

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

Этап 1.1.3.1.8

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $\sec^{2} (x)$ из $\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y + 3$ из $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

Этап 3.3.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\tan (x) + C}$ в виде $e^{\tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\tan (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$