Математический анализ Примеры

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - 2 x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y$ по $y$ равна $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y^{2} - 2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y^{2} - 2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2 x - y$ и $y - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (- 2 x + y)$ в виде $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Этап 4.3.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Этап 4.3.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Этап 4.3.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $y^{2} - 2 x y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 8.2

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Этап 8.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ в виде $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 8.5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- \frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{y}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3.5

Объединим $\frac{- 2}{y}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{y - 2 x}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 x - y + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$