Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Этап 1.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $x^{- 2} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

Этап 1.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$