Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2.2

Выразим $\sin (x) (\cot (x) y)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.2.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7.1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\sin (x) y = \int u d u$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{2} \sin (x)$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.3

Разделим дроби.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 8.3.1.5

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$