Математический анализ Примеры

$\frac{d p}{d z} + \frac{2}{z} p = 4$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (z) d z}$ , где $P (z) = \frac{2}{z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{z} d z}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2}{z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{z} d z}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{z}$ по $z$ имеет вид $\ln (| z |)$ .

$e^{2 (\ln (| z |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| z |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (z)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (z^{2})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$z^{2}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $z^{2}$ .

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z^{2} (\frac{2}{z} p) = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2}{z}$ и $p$ .

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z^{2} \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{2}$ .

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z \cdot z \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z \cdot z \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z (2 p) = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$z^{2} \frac{d p}{d z} + 2 z p = z^{2} \cdot 4$

Этап 2.3

Перенесем $4$ влево от $z^{2}$ .

$z^{2} \frac{d p}{d z} + 2 z p = 4 z^{2}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d z} [z^{2} p] = 4 z^{2}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d z} [z^{2} p] d z = \int 4 z^{2} d z$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$z^{2} p = \int 4 z^{2} d z$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$z^{2} p = 4 \int z^{2} d z$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $z^{2}$ по $z$ имеет вид $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$z^{2} p = 4 (\frac{1}{3} z^{3} + C)$

Этап 6.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{3} z^{3} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{3}) z^{3} + C$ .

$z^{2} p = 4 (\frac{1}{3}) z^{3} + C$

Этап 6.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$ на $z^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$ на $z^{2}$ .

$\frac{z^{2} p}{z^{2}} = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z^{2} p}{z^{2}} = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $z^{3}$ и $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $z^{2}$ из $\frac{4}{3} z^{3}$ .

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2} \cdot 1} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2} \cdot 1} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$p = \frac{\frac{4}{3} z}{1} + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{4}{3} z$ на $1$ .

$p = \frac{4}{3} z + \frac{C}{z^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $z$ .

$p = \frac{4 z}{3} + \frac{C}{z^{2}}$