Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Этап 7.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Этап 7.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Этап 7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Этап 7.6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Этап 7.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перепишем $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ в виде $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Этап 7.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Этап 7.7.2.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $- \cos (x)$ на $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.3

Чтобы записать $- \cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.4

Объединим $- \cos (x)$ и $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x) x^{2}$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Этап 8.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Этап 8.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Этап 8.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Перепишем $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ в виде $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Этап 8.3.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Этап 8.3.13.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$