Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{3 y - 4 x}{x}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Этап 1.1.2

Вычтем $\frac{3 y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 3}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{3}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{3 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Этап 3.3

Объединим.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

Этап 3.4

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

Этап 3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

Этап 3.5

Умножим $- 4 x$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.3.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

Этап 7.4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 7.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 7.5.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 7.5.2

Упростим.

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 7.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.5.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Этап 7.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $\frac{2}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $\frac{2}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 x + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.3

Изменим порядок $2 x$ и $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + 2 x$