Математический анализ Примеры

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

Этап 1

Добавим $2 x (1 + e^{y}) d x$ к обеим частям уравнения.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $e^{y} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{1 + e^{y}}$ и $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $1 + e^{y}$ из $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $1 + e^{y}$ из $x (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{2}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Тогда $d u_{1} = e^{y} d y$ , следовательно $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Этап 4.2.1.1.4

Добавим $0$ и $e^{y}$ .

$e^{y}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$