Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Этап 2.5

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Этап 2.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Этап 3.3

Разложим $r^{2} - 2 r - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $r - 4$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $r - 4$ к $0$ .

$r - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$r = 4$

Этап 3.6

Приравняем $r + 2$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $r + 2$ к $0$ .

$r + 2 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$r = - 2$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 4) (r + 2) = 0$ верно.

$r = 4, - 2$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$