Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \arctan (x) + K$