Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.1.3.2

Объединим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Этап 1.1.3.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Этап 1.4.3

Умножим $1$ на $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 3.3

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Этап 3.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$