Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x \sqrt{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 x \sqrt{y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.3.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.4

Объединим $4$ и $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{4 \sqrt{y}}{y} (x \sqrt{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим $x$ и $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Этап 1.2.5.2

Объединим $\frac{x (4 \sqrt{y})}{y}$ и $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Этап 1.2.5.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Этап 1.2.5.4

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Этап 1.2.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Этап 1.2.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (4 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y^{1}}{y}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 y}{y}$

Этап 1.2.7.2

Разделим $x \cdot 4$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 4$

Этап 1.2.8

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 4 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.1.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 4 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(x^{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(x^{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{2} (x^{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Объединим $\frac{K}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{x^{2} K}{2}$ и $\frac{K x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = x^{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{K x^{2}}{2}$ и $\frac{K x^{2}}{2}$ .

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{4} + 2 \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = x^{4} + K x^{2} + K$