Математический анализ Примеры

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Этап 3.3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ в виде $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Этап 6.2.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Этап 6.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Этап 6.2.4

Умножим $C$ на $1$ .

$C - 1 = 1$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 1 + 1$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$C = 2$

Этап 7

Подставим $2$ вместо $C$ в $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $2$ вместо $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$