Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = e^{x^{2}}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x^{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $e^{- x^{2}}$ на $e^{x^{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2} + x^{2}}$

Этап 2.3.2

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{0}$

Этап 2.4

Упростим $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$

Этап 2.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 1$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 1$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x^{2}} y = \int d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x^{2}} y = x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = x + C$ на $e^{- x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = x + C$ на $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$