Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Этап 1.4

Разделим $3 y^{\frac{4}{3}}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{6}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{\frac{4}{3}}$ .

$v = y^{- \frac{1}{3}}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- 3}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 3}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- 3}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- 3}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 3}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{3}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{3}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{3 \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Этап 5.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{3} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Этап 5.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $v^{3}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Этап 5.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{3}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Этап 5.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Этап 5.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y' = - \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Этап 5.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $v^{2}$ и $v^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{6}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $v^{6}$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 \frac{d}{d x} [v]}{v^{4}}$

Этап 5.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{3 v'}{v^{4}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{3 v'}{v^{4}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- 3}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 v'}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ умножим на $- \frac{v^{4}}{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ на $- \frac{v^{4}}{3}$ .

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}}$ в числитель.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{v^{4}}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \frac{d v}{d x}$ .

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- v^{4}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.2

Сократим общий множитель $v^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $v^{4}$ из $- v^{4}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.4

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} v^{- 3} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{1}{v^{3}} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.7

Умножим $\frac{1}{v^{3}}$ на $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{v^{3} x}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.8.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (- 2)}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 \cdot - 2}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.9

Сократим общий множитель $v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.9.1

Вынесем множитель $v^{3}$ из $v^{3} x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.9.2

Вынесем множитель $v^{3}$ из $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.10

Объединим $\frac{- 2}{x}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{v^{4}}{3}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Этап 7.1.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 ({(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}) \frac{- v^{4}}{3}$

Этап 7.1.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Этап 7.1.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- v^{4})$

Этап 7.1.1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 3 (\frac{4}{3})} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 (- 1) \frac{4}{3}} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 \cdot - 1 \frac{4}{3}} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 1 \cdot 4} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 4} v^{4}$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $v^{- 4}$ на $v^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Перенесем $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (v^{4} v^{- 4})$

Этап 7.1.1.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{4 - 4}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{0}$

Этап 7.1.1.3.4

Упростим $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 1$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 1$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.5

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{2}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{2 v}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}}$

Этап 7.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.7.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{- 2} d x$

Этап 7.7.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (- x^{- 1} + C)$

Этап 7.7.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C)$ в виде $- - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - - \frac{1}{x} + C$

Этап 7.7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 1 \frac{1}{x} + C$

Этап 7.7.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{1}{x} + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} = C$

Этап 7.8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 7.8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 7.8.2

Перенесем все члены без $v$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{1}{x}$

Этап 7.8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} + C$

Этап 7.8.3

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1

Упростим $(\frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = x + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.3

Изменим порядок $x$ и $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + x$

Этап 8

Подставим $y^{- \frac{1}{3}}$ вместо $v$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = C x^{2} + x$