Математический анализ Примеры

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$8 y d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int y d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Этап 3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $\frac{K}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{K}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Этап 3.3.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Этап 3.3.5

Перепишем $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Этап 3.3.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Этап 3.3.7

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.8

Объединим.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 3.3.9

Умножим $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 3.3.10

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.11.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 3.3.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 3.3.11.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 3.3.11.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.11.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.11.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.11.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.11.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.11.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.11.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 3.3.11.7.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.3.13.2

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$