Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 1.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Этап 1.1.3

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Этап 1.1.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Этап 1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Этап 1.1.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Этап 1.1.5.3

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $\csc (y)$ из $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Вынесем множитель $\csc (y)$ из $x \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Этап 1.1.6.2

Вынесем множитель $\csc (y)$ из $- 9 \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Этап 1.1.6.3

Вынесем множитель $\csc (y)$ из $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\csc (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ в виде $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (- 9 x)$ в виде $- (- 9 x)$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.6

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.8

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Этап 3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$