Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ в виде $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Этап 4.2.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + K = 8$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$K = 8 - 12$

Этап 4.3.2

Вычтем $12$ из $8$ .

$K = - 4$

Этап 5

Подставим $- 4$ вместо $K$ в $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 4$ вместо $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$