Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{2 x}{y} d x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x^{2}}$ в числитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{- 1}{x}$ и $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Этап 3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Этап 5.3

Вычтем $\ln (x^{2})$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

Этап 5.4.3.1.4

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

Этап 5.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

Этап 5.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

Этап 5.9.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Этап 5.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Этап 5.9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

Этап 5.9.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

Этап 5.9.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm x^{2} C$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C x^{2}$