Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x}{y} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Этап 1.2.4

Объединим $- y$ и $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Этап 1.2.6.2

Перепишем $y \cdot y$ в виде $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Этап 1.2.6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $(1 + y) (1 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $(1 + y) (1 - y)$ из $x ((1 + y) (1 - y))$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Этап 1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y)$ . Тогда $d u = - 2 y d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 + y$ и $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (1 + y)$ в виде $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.1.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.1.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.11

Умножим $1 - y$ на $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Этап 2.2.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Этап 2.2.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Этап 2.2.1.1.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- y + 0 - y$

Этап 2.2.1.1.4.2.3

Добавим $- y$ и $0$ .

$- y - y$

Этап 2.2.1.1.4.2.4

Вычтем $y$ из $- y$ .

$- 2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Развернем $(1 + y) (1 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Объединим $\ln (| 1 - y^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.5.2

Умножим $\ln (| 1 - y^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ .

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.4.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ в виде $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.4.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Этап 3.5.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- x^{2} + C}$ в виде $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$