Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 15 x^{2} = 20$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $15 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 20 + 15 x^{2}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (20 + 15 x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 20 d x + \int 15 x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + \int 15 x^{2} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = 20 x + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $15$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{15}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{5}{1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$y + C_{1} = 20 x + 5 x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 5 x^{3} + 20 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 5 x^{3} + 20 x + K$