Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1.2.4

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 1.2.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ в $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \cot (x) + K = \tan (y)$ .

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \cot (x) = \tan (y) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \cot (x) = \tan (y) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\cot (x)$ на $1$ .

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\tan (y)}{- 1}$ .

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \tan (y)$ в виде $- \tan (y)$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

Этап 3.4

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из котангенса.

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $arccot (- \tan (y) + K) = x$ .

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Этап 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Этап 3.7

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Этап 3.8

Разделим каждый член $- \tan (y) = \cot (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разделим каждый член $- \tan (y) = \cot (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2.2

Разделим $\tan (y)$ на $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cot (x)$ в виде $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.8.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Этап 3.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

Этап 3.10

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Этап 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Этап 3.12

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Этап 3.13

Разделим каждый член $- \tan (y) = \cot (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Разделим каждый член $- \tan (y) = \cot (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2.2

Разделим $\tan (y)$ на $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cot (x)$ в виде $- \cot (x)$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.13.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Этап 3.14

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$