Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

Этап 1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 7.7

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 7.7.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 7.7.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 7.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Этап 7.8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Этап 7.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1

Перепишем $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Этап 7.14

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ в числитель.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 7.15.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ в числитель.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 7.15.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 7.15.4.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 7.15.4.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

Этап 7.15.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

Этап 7.15.6

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

Этап 7.15.7

Изменим порядок множителей в $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$