Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = P (1 - P)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{P (1 - P)}$ .

$\frac{1}{P (1 - P)} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P (1 - P)} (P (1 - P))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $P (1 - P)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{P (1 - P)} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P (1 - P)} (P (1 - P))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{P (1 - P)} \frac{d P}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{P (1 - P)} d P = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{P (1 - P)} d P = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $P (1 - P)$ .

$\frac{1 (P (1 - P))}{P (1 - P)} = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (P (1 - P))}{P (1 - P)} = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - P)}{1 - P} = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $1 - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - P)}{1 - P} = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (P (1 - P))}{P} + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (1 - P)$ на $1$ .

$1 = A (1 - P) + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- P) + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- P) + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A P + \frac{(B) (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.5

Сократим общий множитель $1 - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A P + \frac{B (P (1 - P))}{1 - P}$

Этап 2.2.1.1.5.5.2

Разделим $(B) (P)$ на $1$ .

$1 = A - A P + (B) (P)$

$1 = A - A P + B P$

Этап 2.2.1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = - A P + B P + A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $P$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $P$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P}$

Этап 2.2.1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} d P = \int d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{1 - P} d P = \int d t$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{P}$ по $P$ имеет вид $\ln (| P |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} + \int \frac{1}{1 - P} d P = \int d t$

Этап 2.2.4

Пусть $u = 1 - P$ . Тогда $d u = - d P$ , следовательно $- d u = d P$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u = 1 - P$ . Найдем $\frac{d u}{d P}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.4.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| P |) + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| P |) + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| P |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d t$

Этап 2.2.8

Упростим.

$\ln (| P |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| P |}{| u |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 - P$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 1 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (\frac{| P |}{| 1 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 1 - P |}) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $P$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 1 - P |})} = e^{t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (\frac{| P |}{| 1 - P |}) = t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P |}{| 1 - P |}$

Этап 3.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| P |}{| 1 - P |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P |}{| 1 - P |} = e^{t + C}$

Этап 3.3.2

Умножим обе части на $| 1 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 1 - P |} | 1 - P | = e^{t + C} | 1 - P |$

Этап 3.3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $| 1 - P |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| P |}{| 1 - P |} | 1 - P | = e^{t + C} | 1 - P |$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| P | = e^{t + C} | 1 - P |$

Этап 3.3.4

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{t + C} | 1 - P | = | P |$ .

$e^{t + C} | 1 - P | = | P |$

Этап 3.3.4.2

Разделим каждый член $e^{t + C} | 1 - P | = | P |$ на $e^{t + C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Разделим каждый член $e^{t + C} | 1 - P | = | P |$ на $e^{t + C}$ .

$\frac{e^{t + C} | 1 - P |}{e^{t + C}} = \frac{| P |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t + C} | 1 - P |}{e^{t + C}} = \frac{| P |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.2.2.1.2

Разделим $| 1 - P |$ на $1$ .

$| 1 - P | = \frac{| P |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$1 - P = \frac{P}{e^{t + C}}$

$1 - P = - \frac{P}{e^{t + C}}$

$- (1 - P) = \frac{P}{e^{t + C}}$

$- (1 - P) = - \frac{P}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$1 - P = \frac{P}{e^{t + C}}$

$1 - P = - \frac{P}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.5

Решим $1 - P = \frac{P}{e^{t + C}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1

Умножим обе части на $e^{t + C}$ .

$(1 - P) e^{t + C} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1

Упростим $(1 - P) e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 e^{t + C} - P e^{t + C} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.1

Умножим $e^{t + C}$ на $1$ .

$e^{t + C} - P e^{t + C} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$e^{C + t} - P e^{t + C} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$e^{C + t} - P e^{C + t} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.4

Изменим порядок $e^{C + t}$ и $- P e^{C + t}$ .

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = P$

Этап 3.3.4.5.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.1

Вычтем $P$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} - P = 0$

Этап 3.3.4.5.3.2

Вычтем $e^{C + t}$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{C + t} - P = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{C + t} - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{C + t}$ .

$P (- 1 e^{C + t}) - P = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $P$ из $- P$ .

$P (- 1 e^{C + t}) + P \cdot - 1 = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P (- 1 e^{C + t}) + P \cdot - 1$ .

$P (- 1 e^{C + t} - 1) = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.4

Перепишем $- 1 e^{C + t}$ в виде $- e^{C + t}$ .

$P (- e^{C + t} - 1) = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.5

Разделим каждый член $P (- e^{C + t} - 1) = - e^{C + t}$ на $- e^{C + t} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.5.1

Разделим каждый член $P (- e^{C + t} - 1) = - e^{C + t}$ на $- e^{C + t} - 1$ .

$\frac{P (- e^{C + t} - 1)}{- e^{C + t} - 1} = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{C + t} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (- e^{C + t} - 1)}{- e^{C + t} - 1} = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{C + t}$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1 (1)}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{C + t} - 1 (1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- (e^{C + t} + 1)}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.5.3.5.1

Перепишем $- (e^{C + t} + 1)$ в виде $- 1 (e^{C + t} + 1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- 1 (e^{C + t} + 1)}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - - \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$P = 1 \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.5.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$ на $1$ .

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6

Решим $1 - P = - \frac{P}{e^{t + C}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.1

Умножим обе части на $e^{t + C}$ .

$(1 - P) e^{t + C} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1

Упростим $(1 - P) e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 e^{t + C} - P e^{t + C} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.1

Умножим $e^{t + C}$ на $1$ .

$e^{t + C} - P e^{t + C} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$e^{C + t} - P e^{t + C} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$e^{C + t} - P e^{C + t} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.4

Изменим порядок $e^{C + t}$ и $- P e^{C + t}$ .

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = - \frac{P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{P}{e^{t + C}}$ в числитель.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = \frac{- P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = \frac{- P}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} = - P$

Этап 3.3.4.6.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.1

Добавим $P$ к обеим частям уравнения.

$- P e^{C + t} + e^{C + t} + P = 0$

Этап 3.3.4.6.3.2

Вычтем $e^{C + t}$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{C + t} + P = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{C + t} + P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{C + t}$ .

$P (- 1 e^{C + t}) + P = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.2

Возведем $P$ в степень $1$ .

$P (- 1 e^{C + t}) + P = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P^{1}$ .

$P (- 1 e^{C + t}) + P \cdot 1 = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $P$ из $P (- 1 e^{C + t}) + P \cdot 1$ .

$P (- 1 e^{C + t} + 1) = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.4

Перепишем $- 1 e^{C + t}$ в виде $- e^{C + t}$ .

$P (- e^{C + t} + 1) = - e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.5

Разделим каждый член $P (- e^{C + t} + 1) = - e^{C + t}$ на $- e^{C + t} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.5.1

Разделим каждый член $P (- e^{C + t} + 1) = - e^{C + t}$ на $- e^{C + t} + 1$ .

$\frac{P (- e^{C + t} + 1)}{- e^{C + t} + 1} = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{C + t} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (- e^{C + t} + 1)}{- e^{C + t} + 1} = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{- e^{C + t}}{- e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{C + t}$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- e^{C + t} - 1 (- 1)}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{C + t} - 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.5.3.5.1

Перепишем $- (e^{C + t} - 1)$ в виде $- 1 (e^{C + t} - 1)$ .

$P = - \frac{e^{C + t}}{- 1 (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - - \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$P = 1 \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.6.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$ на $1$ .

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.7

Перечислим все решения.

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$P = \frac{e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = \frac{e^{t} e^{C}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{t + C} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.5

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{t} e^{C} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.6

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок членов.

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.8

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{t} e^{C}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.9

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок членов.

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{t + C} - 1}$

Этап 4.11

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{t} e^{C} - 1}$

Этап 4.12

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = \frac{e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} - 1}$