Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- y}{x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x}$

Этап 1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Этап 3.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| y x |) = C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (| y x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Этап 3.6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Этап 3.6.3

Разделим каждый член $y x = \pm e^{C}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим каждый член $y x = \pm e^{C}$ на $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 3.6.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{x}$