Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 5 y + y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{5 y + y^{2}}$ .

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $5 y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{5 y + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y \cdot y}$

Этап 2.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 5 + y \cdot y$ .

$\frac{1}{y \cdot (5 + y)}$

Этап 2.2.1.1.1.4

Умножим $y$ на $5 + y$ .

$\frac{1}{y (5 + y)}$

Этап 2.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (5 + y)$ .

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $5 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (5 + y)$ на $1$ .

$1 = A (5 + y) + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 5 + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $5 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = 5 A + A y + \frac{B (y (5 + y))}{5 + y}$

Этап 2.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$1 = 5 A + A y + (B) (y)$

$1 = 5 A + A y + B y$

Этап 2.2.1.1.7

Перенесем $5 A$ .

$1 = A y + B y + 5 A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 5 A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 5 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $5 A = 1$ .

$5 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $5 A = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $5 A = 1$ на $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $\frac{1}{5}$ .

$0 = (\frac{1}{5}) + B$

$A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = \frac{1}{5} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{5} + B = 0$ .

$\frac{1}{5} + B = 0$

$A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Вычтем $\frac{1}{5}$ из обеих частей уравнения.

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{1}{5} A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{1}{5}, A = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{5}}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{5 y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5 + y}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{5 + y}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{(5 + y) \cdot 5}$

Этап 2.2.1.5.5

Перенесем $5$ влево от $5 + y$ .

$\int \frac{1}{5 y} - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{5 y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \int \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{5 + y} d y) = \int d x$

Этап 2.2.7

Пусть $u = 5 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Пусть $u = 5 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Дифференцируем $5 + y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + y]$

Этап 2.2.7.1.2

По правилу суммы производная $5 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.7.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.7.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.7.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $5 + y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\ln (| 5 + y |)$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ умножим на $5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ на $5$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 5 + y |)}{5}$ в числитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 x + 5 C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |})} = e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C} = \frac{| y |}{| 5 + y |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| 5 + y |$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| 5 + y |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ .

$e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$

Этап 3.6.4.2

Разделим каждый член $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ на $e^{5 x + 5 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Разделим каждый член $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ на $e^{5 x + 5 C}$ .

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Этап 3.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 x + 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Этап 3.6.4.2.2.1.2

Разделим $| 5 + y |$ на $1$ .

$| 5 + y | = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Этап 3.6.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Этап 3.6.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Этап 3.6.4.5

Решим $5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.1

Умножим обе части на $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1

Упростим $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $5 x$ и $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $5 x$ и $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $5 e^{5 C + 5 x}$ и $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 x + 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = y$

Этап 3.6.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} - y = 0$

Этап 3.6.4.5.3.2

Вычтем $5 e^{5 C + 5 x}$ из обеих частей уравнения.

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.5.3.4

Разделим каждый член $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ на $e^{5 C + 5 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ на $e^{5 C + 5 x} - 1$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 C + 5 x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Этап 3.6.4.6

Решим $5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

Умножим обе части на $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1

Упростим $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $5 x$ и $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $5 x$ и $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $5 e^{5 C + 5 x}$ и $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 x + 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ в числитель.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - y$

Этап 3.6.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} + y = 0$

Этап 3.6.4.6.3.2

Вычтем $5 e^{5 C + 5 x}$ из обеих частей уравнения.

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Этап 3.6.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ на $e^{5 C + 5 x} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ на $e^{5 C + 5 x} + 1$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 C + 5 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Этап 3.6.4.7

Перечислим все решения.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 e^{5 x + C}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{5 x + C}$ в виде $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{5 x} e^{C})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.6

Перепишем $e^{5 x + C}$ в виде $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок $e^{5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.8

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 x + C}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.9

Перепишем $e^{5 x + C}$ в виде $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{5 x} e^{C})}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок $e^{5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C + 5 x} + 1}$

Этап 4.11

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x + C} + 1}$

Этап 4.12

Перепишем $e^{5 x + C}$ в виде $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x} e^{C} + 1}$

Этап 4.13

Изменим порядок $e^{5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C} e^{5 x} + 1}$