Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} e^{- x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- x})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} e^{- x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (e^{- x}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- x})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{- x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int e^{- x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int e^{- x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int e^{- x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int e^{- x} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - e^{- x} y + K y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- x} + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- y e^{- x} + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{- x} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{- x}$ .

$y (- 1 e^{- x}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (- 1 e^{- x}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{- x}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$y (- e^{- x} + K) = - 1$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (- e^{- x} + K) = - 1$ на $- e^{- x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (- e^{- x} + K) = - 1$ на $- e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- e^{- x} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- e^{- x} + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) + K}$

Этап 3.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) - 1 (- K)}$

Этап 3.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x} - K)}$

Этап 3.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.5.1

Перепишем $- (e^{- x} - K)$ в виде $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- x} - K)}$

Этап 3.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{e^{- x} - K}$

Этап 3.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- x} - K}$

Этап 3.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{1}{e^{- x} - K}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- x} - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{e^{- x} + K}$