Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

Этап 1.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.4

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Этап 3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 3.3.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 3.3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

Этап 3.3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Этап 3.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Упростим.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Этап 7.6.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $\ln (| x |)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

Этап 8.1.2

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

Этап 8.1.3

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 8.1.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

Этап 8.2.2

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

Этап 8.2.3

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Этап 8.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\ln (| x |) x + 1 + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

Этап 8.4.2.1.3.2

Перенесем $1$ .

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

Этап 8.4.2.1.3.3

Изменим порядок $x \ln (| x |)$ и $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$