Математический анализ Примеры

$(x + 2 y^{2}) d x + x (y d) y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 2 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y = y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 y = y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y - y}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y$ вместо $N$ .

$\frac{4 y - y}{x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$\frac{3 y}{x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x + 2 y^{2}$ на $x^{3}$ .

$(x + 2 y^{2}) x^{3} d x + x y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x^{3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x y$ на $x^{3}$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y x^{3} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3} x y d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3} x^{1} y d y = 0$

Этап 6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3 + 1} y d y = 0$

Этап 6.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{4} y d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{4} y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x^{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{4}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $x^{4} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{4} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + C$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.3

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.5

Объединим $4$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.6

Объединим $\frac{4 y^{2}}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.7

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2} x^{3}$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.3.7.2.4

Разделим $2 y^{2} x^{3}$ на $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $2 x^{3} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3} - 2 x^{3} y^{2}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{4} + 2 y^{2} x^{3} - 2 x^{3} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y^{2} x^{3}$ и $- 2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 x^{3} y^{2} - 2 x^{3} y^{2}$

Этап 12.1.2.2

Вычтем $2 x^{3} y^{2}$ из $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 0$

Этап 12.1.2.3

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{4}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{4} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{4} d x$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$g (x) = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 15.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5} + C$